Señales convergentes: La transformada de Fourier.


Introducción.

En el estudio de señales aperiódicas, (aquellas que debido a su naturaleza carecen de una periodicidad preestablecida) uno de los aspectos más intrigantes es su capacidad de convergencia.

La cuestión reviste una importancia crucial, ya que implica la posibilidad de interactuar con las señales de manera que éstas puedan encajar en una señal determinada, o integrarse en una ecuación continua.

Fourier, razonó que una señal aperiódica puede considerarse como una señal periódica con un periodo infinito. De manera más precisa, en la representación en serie de Fourier de una señal periódica, conforme el periodo se incrementa, la frecuencia fundamental disminuye y las componentes relacionadas armónicamente se hacen más cercanas en frecuencia.

El físico francés, Joseph Fourier (1768-1830), desarrolló una representación de funciones basada en la frecuencia, que ha tenido una gran importancia en numerosos campos de matemáticas y ciencia, en especial en el estudio de las señales complejas.

Una interpretación simplificada de la transformada de Fourier se ilustra en la siguiente figura:

La importancia de la transformada de Fourier radica en que permite representar funciones complicadas de forma que presenten propiedades muy útiles, que a menudo facilitan el tratamiento de la función original. La visualización simultanea de una función y su transformada de Fourier es, en muchas ocasiones, la clave del éxito para solucionar problemas.

Planteamiento del problema:

Partiendo de la ecuación:

Donde:

s(t)es la señal que se va a descomponer en una suma de sinusoides, S(f) la transformada de s(t), y j= /-1.

La representación sería la siguiente:

Problema:

1º.-¿Es posible partiendo de la ecuación de Fourier determinar la integración de cualesquiera señales con energía finita?

2º.-En caso afirmativo, ¿Bajo qué requisitos convergen?.

3º.-Detallar la simulación y las  implicaciones del modelo.

Enviad la solución al problema a starviewerteam@gmail.com

Premio: Publicación del trabajo en un IRCAISCIC. Participación en proyectos de innovación.

StarViewerTeam International 2010

 

12 comentarios sobre “Señales convergentes: La transformada de Fourier.

  1. Estimado amigo Rafael, y compañeros;

    Quiero expresaros mi agradecimiento, por permitirnos a todos, proseguir tratando éstos
    temas, tan vitales y diversos. En general, recibid mi felicitación más efusiva.

    ¿Seria posible pediros que habrais otra entrada, para seguir tratando el tema de “conexión
    integral, noosfera, etc.”,? ya que la mayoria de nosotros (creo) que tenemos más facilidad
    para la comprension filosófica, que para las matemáticas, y que es posible que nos falten
    datos fundamentales, para la comprension de los diferentes procesos.

    Por otra parte, es motivo de congratulación observar lo que parece, al fin, una sincera
    armonización en los caracteress y comportamientos, en los diferentes participantes,
    con sus diferentes tendencias, en el blog.

    Muchas gracias, a todos, y espero que la sintonia de buen humor, nos sirva para profundizar
    en los asuntos, en medio de éstas situaciones que nos ha tocado vivir.

    Afectuosamente; j.r.m.

  2. Por favor Equipo:

    ¿qué aplicaciones (en cristiano) podría tener si se demuestra que funciona?

    Gracias de antemano.

  3. Si sabía yo que al final el pasar completamente de las integrales traería sus problemas… jaja

    1. Pues si, Sr., Geo, siempre se me atragantaban ésas formulitas…

      la verdad, me gustaban más la filo, y el diseño…

      !saludos….!

  4. la transformada se utiliza para analizar señales y su descomposición para así poder estudiar/representar su espectro en el dominio de la frecuencia pero no entiendo a que se refiere el equipo de starviewer con el tema de la energía infinita, ya que el modelo sólo transforma la señal desde el dominio del tiempo a al frecuencia, y como t es una variable finita en R, no le veo sentido a lo que proponeis, a no ser que algo se me escape.

  5. Starviewer Team:
    Primero, saludarlos, y además hacer notar la multiplicidad de aplicaciones en que se utiliza el análisis frecuencial de fourier en la tecnología actual, destacar sobretodo que estos algoritmos matemáticos existen de hace aproximadamente 100 años, y que recien en un pasado cercano se estan aplicando junto al devenir tecnológico (otro matemático francés destacable en este sentido es Galois). Otro punto al que quería referirme es:
    1º.-¿Es posible partiendo de la ecuación de Fourier determinar la integración de cualesquiera señales con energía finita?
    Me podrían aclarar o dar mas detalles de lo que se pide en esa pregunta.

    De antemano muchas gracias.

    Sebastián

    1. Creo que lo que se pide es que partiendo de la transformada de Fourier de una señal obtener o expresar dicha señal como serie convergente o integral convergente de señales de energía finita. La respuesta obviamente es afirmativa. Es la transformada inversa de Fourier o integral de Fourier siempre que exista dicha integral. Las condiciones de existencia o de convergencia de dicha integral es lo que se pide en las cuestiones siguientes del problema planteado.

    2. Exacto Gaspar.

      Un fuerte abrazo y gracias por tu aportación/aclaración para los lectores.

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